Matematik: envansyon oswa dekouvèt?

Sa pa gen lontan nan yon kòmantè Facebook mwen lanse yon ti deba sou nati zouti ak konsèp matematik yo. Deba sou ontoloji matematik yo souvan opoze 2 vizyon, envansyon oswa dekouvèt.

Nan kan envansyon an, nou jwenn Pitagò ki te konn di « tout bagay se chif », men sitou Platon ki te wè matematik yo tankou yon bagay ki egziste deja e ki pa depann de moun. Se poutèt sa yo konn rele moun ki panse se « dekouvri » nou dekouvri matematik yo, « platonisyen ». Alexandre Grothendieck, youn nan matematisyen ki pi kreyatif e pi pwolifik ki pase sou latè, te yon platonisyen. Men kon sa tou, gen matematisyen ki kwè se envante nou envante matematik.

Pa vrèman gen yon repons tout moun dakò sou li pami matematisyen yo sou kesyon sa, pou dayè, se yon kesyon ki plis filozofik pase matematik. Li mande yon refleksyon epistemolojik sou nannan matematik yo. Men sa pa anpeche se yon kesyon ki kreye gwo klach nan mitan matematisyen yo. Pandan m t ap reflechi a sa, m tonbe sou yon atik ki fèk pibliye nan revi Science et Avenir la kote yo manyen kesyon sa presizeman. Sa m renmen nan atik la, se jan yo pran egzanp nonb konplèks yo pou tante ofri yon repons ki mwens sèk sou kesyon an.

Vrèman vre, nan epòk Renesans lan (16yèm syèk), matematisyen yo t ap kase dan yo nan rezoud ekwasyon polinom twazyèm ak katriyèm degre. Yo te konn menm òganize dyèl ak konkou an piblik pou konn kiyès k ap rive rezoud tèl pwoblèm. Kèk nan yo, tankou Cardan ak Tartaglia (ki te ranpòte yon dyèl fas ak yon matematisyen yo te rele Fior), te rive jwenn yon metòd pou leve defi a, men sa te mande yo pafwa pou yo itilize rasin kare yon nonb negatif, sa ki alepòk te youn nan sèt peche kapital yo pami matematisyen yo. An reyalite, Cardan te vòlè metòd la nan men Tartaglia (apre l fin pwomèt Tartaglia li p ap vòlè l si Tartaglia pataje l avè l), men tou se Cardan ki jeneralize metòd Tartaglia a e ki premye oze itilize rasin kare nonb ki negatif – san twòp konviksyon.

Sa ki enteresan nan premye fwotman sa ak nonb konplèks yo, se jan Cardan te konsidere se jis yon rakousi, yon solisyon tanporè men ki initil etandone moun pa gen dwa pran rasin kare nonb negatif. Ki vle di, pou li se te tankou yon envansyon, nonb sa yo pa t koresponn ak okenn reyalite. Tout ann apre, lè nonb konplèks yo vin pi byen chita nan metòd rezolisyon ekwasyon polinom dezyèm degre ak degre ki pi wo yo, yo te toujou konsidere yo tankou etranje, yon seri objè kontrenati. Dayè jiska prezan nou kontinye rele pati ki kole nonb i a « pati imajinè », tankou li pa t egziste vre.

Poutan, tank tan ap pase, yo vin ap dekouvri nonb sa yo, ki okòmansman te sanble yon senp atifis, yo parèt yon bann kote ki pafwa pa gen rapò dirèk ak aljèb. Pa egzanp, nan 17yèm syèk la, Euler rive ba yo yon entèpretasyon trigonometrik, ki dayè mennen nan youn nan pi « bèl » fòmil matematik ki egziste, idantite Euler a:

\begin{aligned}  \mathbf{e^{i\pi+1}=0}  \end{aligned}

Pi devan, an 1806, Jean-Robert Argand pwopoze yon entèpretasyon jewometrik kote kareman li konsidere chak pwen nan plan katezyen an se yon nonb konplèks! Yo vin tou ka asosye yo a vektè tou. E nan menm 19yèm syèk sa, Bernhard Riemann rive konekte nonb konplèks yo ak repatisyon nonb premye yo. Epi tou, yo vin sezi dekouvri prezans nonb konplèks yo lè y ap etidye objè yo rele fraktal yo, espesyalman ansanm Julia yo. An pasan, chaje ti sit sou entènèt la ki pèmèt ou jenere bèl ti imaj sa yo gratis.

Ansanm Julia
Yon ansanm Julia (Sous: Wikipedia)

Men tou, yo vin jwenn nonb konplèks yo nan fizik tou, kit se nan elektwomayetis, nan fizik kantik oswa nan relativite. Nou menm jwenn yo, yon fason ki pi timid kanmèm, nan ekonomi tou. Tout sa fè yon moun ka seryezman mande èske se vre nonb konplèks yo se envante nou envante yo? Sa ki okòmansman te sanble yon senp atifis yo envante pou sove yon sitiyasyon (rezoud kèk ekwasyon ki te difisil), ebyen li vin parèt yon konsèp pwofon nou rankontre yon pil ak yon pakèt kote e ki pa mwens « natirèl » pase nonb reyèl yo.

Kidonk, kesyon èske matematik se envansyon oswa dekouvèt la, jan atik Science et Avenir lan esplike sa dayè, repons li gen tandans evolye an mezi tan ap pase: sa ki te sanble yon envansyon okòmansman san okenn koneksyon ak « reyalite » a, pi devan konn parèt yon konsèp pisan ki menm debòde kite matematik pou jwenn aplikasyon li nan fizik, chimi, ekonomi, eks.

Men sa rechèch modèn yo revele tou, sèke jan matematik fèt kounye a yon ti kras diferan ak jan sa te konn fèt lontan. Matematik yo kòmanse sanble ak yon vrè syans olye yon senp langaj endepandan k ap tann pou lòt syans aplike zouti ki devlope yo. Kounye a, li pa ra pou matematisyen pwofesyonèl yo fè similasyon sou òdinatè, kolekte done, e menm fè eksperyans syantifik pou devlope, nouri oswa teste entuisyon yo anvan yo rive nan faz demonstrasyon an. Nan lojik sa a, li pa ra pou se reyalite a ki bay matematisyen an matyè premyè li bezwen pou li al pi lwen yo.

Nan liv Notre Univers Mathématique la, Max Tegmark, yon fizisyen, eseye reponn kesyon an yon fason enteresan. Tegmark se sandout yon platonisyen pou jan li kwè matematik yo makònen ak reyalite a, kidonk se pa yon senp pwodui lespri moun. Men aspè nan repons li an ki pi enteresan an, se jan li di matematik yo pa sèlman dekri reyalite a (inivè a), men inivè a nan li menm se matematik. Sa fè nou petèt panse a Pitagò ki te di « tout bagay se chif » la. Men jan Tegmark di reyalite a se matematik la, si li petèt gen rezon, pa otomatikman vle di matematik yo se reyalite.

Jan nou te wè sa, okòmansman konn pa gen okenn koneksyon ant zouti ak atifis matematisyen yo devlope pou rezoud pwoblèm yo ak reyalite fizik la. Dayè, anpil anpil devlopman teyorik nan matematik pa ko e ka pa janm jwenn yon aplikasyon nan reyalite a. Anfen, se pa paske nou gen fòm won nan reyalite a ki vle di yo se objè abstrè ki rele sèk la. Kiyès ki janm kwaze yon pwen? Reyifikasyon konsèp matematik yo pa toujou posib e sa riske fèmen nou nan yon apwòch matematik yo ki twò itilitaris.

Pou m fini, kesyon èske matematik se envansyon moun oswa dekouvèt la, malerezman li pa sanble gen yon repons fiks, kit se nan tan (evolisyon konesans yo konn chanje done yo), kit se nan mitan matematisyen yo yo menm oswa pami filozòf ak lòt moun ki itilize matematik oswa reflechi sou yo. Men yon bagay sanble klè, avanti estrawòdinè sa ap kontinye e nou pa menm konnen kote l ap mennen nou. Anpil konjekti enpòtan ki pa ko demontre (tankou Ipotèz Riemann nan) raple n ap bezwen alafwa mete palto envantè a pou abòde pwoblèm rekalsitran sa yo ak nouvo zouti, men tou kenbe palto eksploratè a pou defriche nouvo teritwa sa yo ki kontinye ap defye lespri nou an ak yon rega nèf, yon rega fouyapòt, ti landeng.

Votre commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l’aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s