Archives pour la catégorie Analiz matematik

Analiz matematik (fonksyon, limit, kalkil diferansyèl ak entegral, eks.)

COVID-19: Yon siy gri?

Nan ti liv M ap li ak kè kontan #3 a, te gen yon istwa ki te rele « Fè wè pa dire ». Ladan, yon nèg ki te konn gade bèt deside òganize yon kanbiz pou zanmi li yo, e li tou pwofite envite tout bèt lakay li vin nan fèt la. Tout bèt yo, an bon entèlijan, te refize envitasyon an, sof kòmè kodenn. Nou tout konnen kòman istwa a te fini, ak « kòmè kodenn ki defile de pye an lè sou tab » la. Istwa a fè kòmè kodenn pase pou egare, kòm si se sèl li ki pou ta gen yon konpòtman konsa. Epoutan, si sa t ap pase toutbon, gen anpil chans pou pifò nan bèt yo ta aksepte envitasyon an. Si moun k ap gade yo a te konn byen trete yo, ba yo manje, pa t gen okenn rezon pou yo te panse moun sa t apral fè yo mal oswa anvi manje yo brid sou kou, soti jodi rive demen. An reyalite, moman kote gadyen an deside chanje konpòtman an, nan inivè bèt yo, li pa yon bagay ou ka prevwa. Se rete y ap rete, san rezon, yo wè van an vire.

Nan yon liv ki pote tit Black Swan: The impact of the highly improbable, Nassim Nicholas Taleb (ki pran plezi nan kritite ekonomis yo) te analize yon seri fenomèn li dekri kòm « Black Swan » (oswa Siy Nwa). Sa ki pase, zwazo yo rele siy lan, nan peyi Nò planèt la yo gen tandans gen plimay blan, men sa ki nan pati Sid yo gen tandans gen yon koulè blan melanje ak nwa oswa menm 100% nwa nan ka peyi Ostrali (Cygnus atratus). Kidonk pou anpil Ewopeyen, pandan lontan, ki di siy te di koulè blan. Taleb itilize imaj chokan siy nwa a (pou yon moun ki konn blan yo sèlman) pou montre efè sa fè lè nou pantan sou yon bagay kosmoloji nou an pa t pèmèt nou imajine. Twa karakteristik gwo evènman Taleb rele « siy nwa » yo se: 1) yo parèt prèske enposib (e evènman pase yo pa vrèman ka pèmèt ou prevwa l) 2) lè yo resi rive, yo gen gwo enpak (sou mantalite yo, sou reyalite a menm-ekonomi an, fason nou fonksyone, eks.) 3) malgre yo te prèske enposib pou prevwa, anpil moun pral chèche jwenn yon esplikasyon pou yo k ap fè yo parèt nòmal, previzib, lojik.

Nimewo 3 a ta sanble se rezilta 2 tandans natirèl nou genyen. Yon bò, genyen byè konfimasyon an ki pouse nou seleksyone nan rechèch n ap fè sa ki koresponn ak kwayans oswa konesans nou gen deja. Lè konsa nou gen tandans ekate yon seri evènman, kòz, ak faktè ki te ka pwodui menm rezilta n ap chèche esplike yo. Lòt tandans natirèl la, se bezwen nou toujou santi pou nou bay bagay yo sans. Nou renmen kreye diskou lè bagay yo fin pase, bati istwa (« narrative fallacy ») ki souvan lineyè alòske reyalite a konn plis sanble ak yon madjigridji oswa yon melanj chans, malchans, ak chimen tou trase. Istwa yo souvan pi klè, pi lojik nan liv istwa yo pase lè n ap viv yo layv.

Sa pa vle di sa Nathan Watchel rele yon « istwa regresif » la li pa itil anyen non. Okontrè, yon istwa kote se leprezan an ki ap ede nou konprann lepase kapab gen tout sans li kòm metòd, jan rechèch solid otè tankou Karl Marx oswa Philippe Descola montre sa. Sa pa vle di nonplis travay prediksyon an enposib, e nou konnen ekonomis yo renmen sa. Sa pito raple nou jan sa riskan pou nou ap predi lavni sou baz sa ki pase sèlman apati jan nou viv li alèkile, san nou pa kite okenn plas pou sa nou konnen nou pa konnen yo.

Sa gen kèk jou m t ap pale ak yon pwofesè sou pandemi COVID-19 la. Li se yon spesyalis nan ekonomi konpòtman. M t ap di l jan pil esplikasyon rasyonèl y ap devlope nan medya yo ak obsesyon pou tabli seri etap lineyè ki ta mennen nan pandemi an fè m panse a teyori siy nwa a. Li te di m wi, se yon ka klasik. Apre sa, m vin tonbe sou tèks sou nèt la k ap debat si COVID-19 se yon siy nwa oswa yon siy blan, pafwa san bay twòp agiman. Men annapre, m vin ap mande tèt mwen si nou pa annafè ak sa m te ka rele yon siy gri pito (an pasan, sa egziste vre, se pitit siy nwa yo ki konsa) oswa yon siy blan ki gen kou nwa.

Se vre, jan anpil spesyalis montre sa e sou baz istwa limanite ak sou baz dènye pandemi yo, nou te konnen sa t ap finalman rive yon jou oswa yon lòt. Anpil spesyalis tou te alète sou mank preparasyon monn lan pou yon pandemi konsa. Menm gen yon endèks, Global Health Security Index, ki egziste e ki chak ane klase peyi yo an fonksyon nivo preparasyon sistèm sante yo a fas ak gwo tonton defi sa yo. Endèks sa a te gentan montre aklè nivo vilnerablite kèk peyi. An menm tan, pa gen moun, menm ekspè yo, ki te konnen sa t apral pase kounye a. Katastwòf yo tankou devwa d mezon pou elèv k ap kalblennde, yo toujou panse y a gentan, se pa pou demen, jiskaske demen rive sou yo. An reyalite, katastwòf yo pi mal, nou pa menm konn ki lè y ap rive e malgre sa nou lage nan fè vagnè.

Evènman siy nwa yo ka difisil pou prevwa, men nou ka aprann jere yo pi byen lè yo parèt tèt yo, pa gen dout sou sa. Yo pa toujou negatif nonplis, menm Entènèt Taleb konsidere li kòm yon siy nwa. Asimov se yon otè syans fiksyon m renmen anpil. Malgre pouvwa imajinasyon l, m pa sonje li te janm rive devine nan woman l yo posiblite pou ta gen entènèt e pou n ap sèvi avè l jan n ap fè l jounen jodi a.

Siy nwa yo ka enprevizib, men siy gri m te pale pi wo a gen yon avantaj li ofri nou ki ka pèmèt nou pi fasil met men sou li: li previzib, nou sèlman pa konnen ki lè ak kòman l ap parèt. Pandemi aktyèl la se petèt yon bon egzanp. Men chanjman klimatik yo ta ka antre ladan tou. Malgre egzistans senaryo ki sofistike, nou pa ko janm ka konnen vrèman kòman lavni ap ye. Nou pa pare pou senaryo katastwòf yo dekri nan liv tankou The Uninhabitable Earth la. Peyi yo dwe nonsèlman fè tout sa yo kapab pou sa pa dejenere, men tou kòmanse depi kounye a, adapte a avni sa ki gen anpil chans pou rive a si nou pa rele sou kò nou.

Derivasyon enplisit

Pwòf AP pote yon lòt biyè tou cho pou nou sou teknik derivasyon enplisit la.

Yon rivyè k ap fè S.

Li konn enteresan pou n gade ki chemen yon dlo ki soti nan tèt yon mòn pran pou l desann nan pye mòn nan. Se yon chemen ki fè S. Se paske dlo a ap chache pi bon pant la pou l desann. Lè n ap gade televizyon lè y ap bay bilten meteyo, nou ka petèt konn ap mande tèt nou ki jan prezantatè a fè konnen ki direksyon van an ap pran, oubyen kijan avyatè a fè konn ki direksyon pou l bay avyon an pou van pa ba l twòp pwoblèm. Enben se fonksyon enplisit yo k ap ede n konprann epi reponn tout kesyon sa yo.

Jeneralman fonksyon nou abitye kontre yo gen yon varyab ki depann de lòt la. Pa egzanp nan yon fonksyon y=f(x) , x pote non varyab endepandan tandiske y pote non varyab depandan. Pou eksprime y ou bezwen x , yon ekwasyon konsa rele ekwasyon eksplisit. Lè n pran ekwasyon y=f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}+5x}{x^{3}+3x-8}} se yon fonksyon eksplisit. Li byen fasil pou kalkile derive sa a ak derivasyon logaritmik nou sot wè pi wo a. Tandiske nan yon fonksyon y kote, tankou la, x^{3}+y^{3}=6xy , li pa fasil e li menm enposib pou ekri y tankou yon fonksyon ki depann de x sèlman. Tip fonksyon sa yo makònen varyab yo ki se x ak y nan yon relasyon nou rele relasyon enplisit. Yon relasyon konsa ka ekri sou fòm f(x,y)=k kote k se yon eleman nan ansanm reyel yo, \mathbb{R}. Sèl yon lojisyèl kalkil fomèl ki ka rive eksprime y jan nou bezwen an, men…ekspresyon an ap makawon.

Erezman li pa nesesè pou n eksprime y kòm yon fonksyon ki depann de x aklè pou n kapab kalkile derive li. Depi tou de bò ekwasyon an derivab (depi derive a egziste), n ap annik derive chak bò yo apa. Tankou :

Nou dwe jwenn yon ekwasyon ki pemet nou izole y' (se sa jeneralman nou rele tire a). Nou dwe toujou sonje n ap derive y pa rapò ak x . Sa m sot di la a ka petèt pi klè si m aplike l sou ekwasyon ki pi wo a :

Rive nan pwen sa a, li enpòtan pou n raple w kèk ti detay sètènman nou te konnen deja. M vle pale de règ derivasyon fonksyon konpoze yo ak derive fonksyon ekspozan yo.

Si n se yon eleman nan \mathbb{R} epi f(x) se yon fonksyon nou ka derive. Derive fonksyon \left[f(x)\right]^{n} ka pa parèt evidan pou yon moun. N ap itilize nosyon sou derive logaritmik yo nou te wè nan biyè anvan an pou n fè sa parèt klè kou dlo kokoye pou ou.

Pou n kalkile derive fonksyon sa a, an n poze fonksyon an egal ak z (z=\left[f(x)\right]^{n} kote y=f(x) ) epi n ap pran logarit fonksyon z la.

Nou ka remake, nan kolòn derive logaritmik la, nou rive jwenn byen fasil fòmil jeneral derive fonksyon puisans (D_{x}(x^{n})=nx^{n-1} ). Demonstrasyon fòmil bazik sa a souvan sèvi ak fòmil binom Newton nan, an jeneral pou ka kote ekspozan an se yon nonb antye. Men e si ekspozan an se yon fraksyon? Menm si fòmil binom Newton nan ka jeneralize pou ka ekspozan ki se fraksyon yo, nan fen biyè sa ou pral wè kòman byen fasil, gras ak derivasyon enplisit, nou ka jeneralize fòmil derive fonksyon puisans lan pou ka kote ekspozan an se yon fraksyon.

Kidonk, pou nou retounen

Pou ekwasyon nou gen pi wo a, sa ap bay :

Nou vin genyen

Donk, apre nou fin tire y'

Fonksyon yo rele fonksyon enplisit sa yo, jeneralman nou jwenn yo nan domèn sa yo : meteyowoloji, ayewodinamik, elektwonik, topografi, jeoloji, ekonomi, elatriye. Fonksyon sa yo detèmini yon fanmi koub yo rele liy nivo oubyen koub nivo, koub endiferans nan mikwoekonomi, koub izotèm, liy izoba, liy chan, liy kouran, suivan domèn y ap itilize yo a. Liy sa yo souvan pèpandikilè ak yon lòt fanmi koub ki se souvan sa nou konn pi bezwen an. Prefiks izo oubyen eki devan mo sa yo tradui yon koub kote grandè fonksyon an reprezante a gen menm valè a sou tout pwen ki fòme koub la.

Egzanp :

Izoba : koub ki endike tout pwen kote presyon an se menm bagay

Izotèm : koub ki endike tout pwen kote tanperati a se menm bagay

Ekipotansyèl : koub ki endike tout pwen kote potansyèl la se menm bagay

Pou yon tèmisyen konnen nan ki direksyon ekoulman chalè ap fèt li itilize koub izotèm yo. Fanmi koub ekoulman chalè a toujou pèpandikilè ak fanmi koub izotèm yo.

Si n konsidere de fonksyon sa yo :

Premye reprezante yon fanmi ipèbòl epi dezyèm nanreprezante yon lòt fanmi ipèbòl ki genyen dwat y=\pm x yo kòm asenptòt. Nou pral montre chak koub nan premye a pèpandikilè ak chak koub nan dezyèm nan.

Ekwasyon (1) an ak (2) montre nou nan chak pwen kote koub nan chak fanmi yo kontre, pant tanjant yo se opoze envès youn ak lòt. Nou te aprann si pwodui pant de dwat egal ak -1, de dwat sa yo pèpandikilè. ( Gade desen pi ba a.)

Reprezantasyon grafik fanmi koub yo.

Jan nou te anonse sa a, ou kapab sèvi ak derivasyon enplisit pou ou demontre fòmil derivasyon fonksyon puisans lan (D_{x}(x^{n})=nx^{n-1} ) valab menm lè ekspozan an se yon fraksyon (yon nonb rasyonèl ki pran fòm n=\frac{p}{q}, kote p, q se de nonb antye epi q\neq 0 ). Ebyen, nan ka sa a, teknik la se defini yon fonksyon y=x^{\frac{p}{q}} , epi poze y^{q}=x^{p} . Konsa ou ka aplike fòmil derive fonksyon puisans lan sou chak manb pandan ou ap itilize metòd derivasyon enplisit lan. Sa w panse si w eseye?

Wout kwochi a konn pi kout: derivasyon logaritmik


Jodi a, se yon jou espesyal. Se premye kontribisyon nou resevwa nan men yon lektè blòg la. Biyè jodi a, se Pwofesè AP ki pote l pou nou. Lajès li san limit: li gentan gen yon lòt biyè k ap kuit.


Biyè ki te vin anvan an sou zafè derive yo te fè yon bèl rale sou kijan yon moun k ap aprann Matematik pa dwe twonpe tèt li sou dispozisyon li dwe pran pou l byen fè Matematik.  Li pa ra pou yon moun tande yon elèv k ap pale ak yon lòt pou l di: « Mwen menm se mat m renmen paske l pa gen pa kè ladann ». Yon moun ki di sa li twonpe tèt li. Se sèlman lè w konn teyori a byen ou ka metrize matyè a. Si gen yon matyè ki gen plis memorizasyon ladann se matematik. Nou dwe etidye epi memorize chak teyorèm, chak kowolè ak chak definisyon. Se lè sa a n a prèske pare pou nou konprann matyè a.

Si gen yon matyè ki gen plis memorizasyon ladann se matematik.

Pou nou fè suit a biyè ki te pale sou Metòd derivasyon Feynmann nan, jodi a nou pral pale sou Derivasyon logaritmik.

Kèk pouvwa fonksyon logarit la

Nou te wè kijan Metòd derivasyon Feynmann nan se yon zouti puisan pou nou kalkile derive fonksyon konplike ki gen ekspozan, pwodui, divizyon plizyè fonksyon. Pou sa te fèt nou te itilize fòmil derive yon pwodui . Men lè kantite fonksyon ki nan pwodui a depase 3, demonstrasyon sa a ka twò lou. Granmesi yon fonksyon nan Matematik la ki rele logarit (\log oubyen \ln ), travay sa a vin pi fasil, paske fonksyon sa a gen kèk pwopryete ki enteresan lè yo aplike l sou yon pwodui oubyen yon divizyon plizyè fonksyon.

Sa nou ka jeneralize, nan ka pwodui a, konsa:

Ti bemòl nou dwe mete, fonksyon f la dwe yon fonksyon ki pa anile, paske derive logaritmik yon fonksyon se

Nou konnen li pa posib pou n gen zewo kòm denominatè. Si fonksyon f la se yon fonksyon ki pran sèlman valè ki pi gwo pase 0 ( \forall x \in \mathbb{D}_f, f(x)>0), derive logaritmik la fè yon sèl ak derive fonksyon konpoze (\ln f ) la.

Sa vin ba nou, pou yon fonksyon f=u\cdot v\cdot w\cdot z

Kidonk,

Fòmil sa a se menm ak sa nou te jwenn nan biyè sou metòd Feynman lan.

Yon egzanp pou nou fini.

An nou di ou gen pou w kalkile derive yon fonksyon konsa:

Nou ap jis pran logarit 2 manm yo:

Fè m konfyans, si n te pase nan metòd tradisyonèl la, nou t ap fini wi. Men chimen an t ap long.